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2022湖南省考行測備考指導:用均值不等式來解決極值問題

2021-06-22 09:58:29| 來源:中公教育 苗國才

均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是數學中的一個重要公式,即幾何平均數不超過算術平均數。用公式表示為:。兩數之和為定值,當兩數發生變化時,乘積也會改變,兩數之積就存在最大值,當且僅當兩數相等時乘積能取到最大值。即和定差小積最大。

這個不等式在考試中具體如何考察,又如何運用呢?現在通過一個題目來幫助大家運用這個知識解題。

例:某旅行社組團去外地旅游,30人起成團,每人單價800元。旅行社為吸引報團,針對30人以上的團隊給與優惠,即旅行團每增加一人,每人的單價就降低10元。當旅行社的人數是多少時,旅行社可以獲得最大利潤?

A、40人 B、45人 C、50人 D、55人

答案:D。

【中公解析】:設旅行團的人數比30多了X人,旅行社可以獲得利潤為Y元。則根據題意可以列出函數關系式為:對于一元二次函數的求極值的方法,形如Y能取到極值。將函數解析式整理之后為:Y能取到最大值了,此時旅行社的總人數為30+25=55,所以選擇D。

下面我們用均值不等式來解決這題。

可以看出Y是由兩數相乘所得,但是這兩個數的和不為定值,無法直接使用均值不等式來求解,我們只要構造出兩數和為定值就可以。把變形為此時兩個括號里的數和為定值110,只要讓兩數相等就能求出Y的最大值,即解得X=25,答案為30+25=55,所以選擇D。

下面通過練習一題來鞏固一下這個方法。

例:將進貨單價為90元的某商品按100元一個出售時,能賣出500個。已知這種商品如果每個漲價1元,其銷售量就會減少10個,為了獲得最大利潤,售價應定為多少?

A、110元 B、120元 C、130元 D、150元

答案:B。

【中公解析】:設在100元的基礎上漲價X元,總利潤為Y元。根據題意函數關系為:由均值不等式解題,可得當則售價為100+20=120元,所以選擇B。

均值不等式解題,方法易學,計算簡單,基本都是口算的程度,能夠幫助提升做題的速度。

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