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2021湖南三支一扶考試-行測:幾何問題——三角形全面剖析

2021-06-23 09:57:08| 來源:中公教育 秦鵬飛

幾何問題是近幾年國考省考考察的內容之一,而其中對于三角形的考察,又受考官青睞。今天,中公教育帶領各位考生一起來全面學習一下三角形的相關考點。

一、構成條件:兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊。

【例題1】若一個三角形的所有邊長都是整數,其周長是偶數,且已知其中兩邊長分別為10和2000,則滿足條件的三角形總個數是:

A.10 B.7 C.8 D.9

【中公解析】D。已知兩邊均為偶數,則第三邊也為偶數。根據構成條件,1990<第三邊<2010,滿足的有1992、1994、1996、1998、2000、2002、2004、2006、2008,共有9組不同的三角形。故本題答案為D。

二、三角形面積:

【例題2】如圖,在長方形ABCD中,已知三角形ABE、三角形ADF與四邊形AECF的面積相等,則三角形AEF與三角形CEF的面積之比是:

A.5:1 B.5:2 C.5:3 D.2:1

【中公解析】A。由于長寬不確定,具有任意性,可設特值。將長方形ABCD視作為特殊的長方形-正方形。同時,因為其中三個區域面積相同,故總面積可設為3的倍數。

不妨設AD=3,DC=3,總面積為9.所以△ADF面積=×總面積=3.因為AD=3,所以DF=2,則FC=1.同理△ABE面積=3,AB=3,則BE=2,則EC=1。

所以,故△AEF與△CEF的面積比為5:1.故本題答案為A。

三、直角三角形

(1)勾股定理:直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖,記作(常用勾股數:3n、4n、5n,n為正整數)

(2)特殊直角三角形邊長比:

【例題3】一艘游輪在海上勻速航行,航向保持不變。上午8時在游輪的正東方30海里處有一燈塔。上午10時30分該燈塔位于游輪的正南方40海里處,則在該時段內,游輪與燈塔距離最短的時刻是( )

A.8時45分 B.8時54分 C.9時15分 D.9時18分

【中公解析】B。距離最短時,游輪與燈塔的連線即為三角形的高。根據勾股定理,可得AB=50。根據常用勾股數(3n,4n,5n),結合三邊比例,易知CD=24。進而可知AD=18。故運動時間為150×=54分鐘。

四、三角形相似

1、相似的判定條件

(1)三角對應相等,兩個三角形相似(AAA)

(2)兩邊對應成比例且夾角相等,兩個三角形相似(SAS)

(3)三邊對應成比例,兩個三角形相似(SSS)

2、常用相似性質:

(1)相似三角形的對應邊成比例;

(2)相似三角形的周長比等于相似比;

(3)相似三角形的面積比等于相似比的平方。

【例題4】某市規劃建設的4個小區,分別位于直角梯形ABCD的4個頂點處(如圖),AD=4千米,CD=BC=12千米。欲在CD上選一點S建幼兒園,使其與4個小區的直線距離之和為最小,則S與C的距離是:

A.3千米 B.4千米 C.6千米 D.9千米

【中公解析】D。找到A點關于鏡面CD的鏡像,容易得到△A'DS與△SCB相似,故A'D:BC=SD:SC=1:3。所以SC=9.

五、三角形重心

1.重心:三角形三邊中線的交點

2.性質:重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1

【例題5】如圖,A-BCD是棱長為3的正四面體,M是棱上的一點,且MB=2MA,G是三角形BCD的重心,動點P在棱BC上,則PM+PG的最小值( )

【中公解析】B。展開圖如圖所示,因為G為重心,故BG為中線,也為正三角形的角平分線,故∠GBP為30°,且∠MBP為60°,容易發現∠MBG為直角。重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1,則根據勾股定理,故

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